L’armateur vénitien

Bassiano est un jeune vénitien flamboyant, mais dispendieux, nous raconte Shakespeare dans « Le Marchand de Venise ». Il veut à la fois éteindre ses dettes et faire meilleure figure aux yeux de la belle Portia dont il brigue la main. Il demande donc un coup de main financier à son fidèle ami Antonio, jeune, riche et très généreux armateur dont les bateaux sillonnent les mers. Antonio n’a pas sur lui les 3 000 ducats qu’il s’engage à prêter à Bassiano : ses bateaux, tous au large, ne rentreront au port que dans les deux mois.

Antonio va donc voir le banquier Shylock pour emprunter la somme et signe un billet qui l’engage à le rembourser au terme de trois mois, sauf à indemniser Shylock par une livre de sa chair prélevée au plus près du cœur. Il signe sans hésiter car dit-il :

 « J’en rends grâces au sort ; toutes mes espérances ne sont pas aventurées sur une seule chance [un seul bateau], ni réunies en un même lieu ; et ma fortune entière ne dépend pas des événements de cette année. Ce ne sont donc pas mes marchandises qui m’attristent. » (Acte I, scène 1)

Grâce à une habile diversification des routes maritimes de ses bateaux, il pense ne porter aucun risque. Voyons cela.

Ce qu’est le risque

Une première définition tient en peu de mots. Il y a risque quand les choses bougent. Le risque n’est pas toujours négatif car les choses peuvent parfois bouger de façon favorable (upside risk) pour celui qui porte le risque (pensez à une loterie) et parfois défavorable (downside risk). Un bon indicateur du risque est la volatilité, calculée comme l’écart-type du taux de rendement qui mesure en pratique la dispersion des écarts à la moyenne.

Revenant à Antonio, disons qu’un bateau lancé en plein mer a dix-neuf chances sur vingt de ramener à bon port la marchandise et surtout lui-même ; et donc une chance sur vingt, soit 5 %, de couler. C’est une proportion assez plausible sur la base de ce qu’on sait de la marine au long cours à l’époque de la Grande Venise[1].

Si l’armateur n’a qu’un bateau, la chance de tout perdre n’est pas négligeable, surtout s’il s’est endetté, ceci à une époque où l’on ne pardonnait guère à l’emprunteur défaillant, sans aller jusqu’à l’extrême de Shylock.

Supposons maintenant que la météo soit le seul risque existant (pas de pirates par exemple). La probabilité d’une tempête à un endroit donné est de 5 %.

 

Si l’armateur a de nombreux bateaux, le risque qu’ils coulent tous en même temps devient très faible. Mais il faut bien sûr que les bateaux ne soient pas soumis au même risque, à savoir pas tous concentrés dans un même lieu à la merci d’une possible tempête. (C’est ce qui est arrivé à l’Invincible Armada de Philippe II d’Espagne lors de la désastreuse tentative d’envahir l’Angleterre.)

La magie de la diversification : c’est gratuit !

Si le risque météo est parfaitement indépendant géographiquement (c’est-à-dire si le risque d’une tempête à un endroit ne dépend pas de la météo présente ailleurs), disposer de nombreux bateaux rend progressivement le risque « certain », c’est-à-dire le fait disparaître. C’est ce qu’on appelle la loi des grands nombres où l’écart-type tend progressivement vers zéro. Il reste une perte moyenne de 5 %, car c’est une contrainte en dur, mais elle est « certaine » comme l’est une dépense opérationnelle courante telle la réparation régulière des bateaux.

Le lecteur a reconnu ici la loi binomiale. L’écart-type (du rendement) du « portefeuille » de bateaux, pour parler comme un gérant d’actifs, peut être calculé, selon la formule du tableau. Il tend progressivement (pas très vite il est vrai) vers zéro.

 

À nouveau, la perte moyenne de l’armateur reste la même, 5 %, mais atteint progressivement un niveau de risque qu’on peut provisionner, voire même, nul à la limite. Et cette couverture de risque est « gratuite » car il suffit de dupliquer le nombre de bateaux.

L’armateur désargenté qui n’a qu’un bateau n’y a pas accès, bien sûr, mais des techniques financières, déjà présentes dans la Venise du XIIe siècle, lui permettent « synthétiquement » de se couvrir. Il peut par exemple mettre le même patrimoine dans une société plus grande qui possède beaucoup de bateaux. Ou se faire aider par un assureur qui a un portefeuille large de clients qu’il assure contre le naufrage. Quelle sera la valeur de ce qu’on appelle la prime pure d’assurance (hors frais et profit de l’assureur) dans le cas présent ? Évidemment, elle sera de 5 % de la valeur d’un bateau pour chaque bateau couvert.

On note à l’occasion que la première méthode (apporter son bateau à une société plus grande) fait perdre à Antonio son statut d’entrepreneur ; il devient investisseur. La seconde méthode, l’assurance, le laisse à son poste.

Et si les risques ne sont pas indépendants ?

Antonio, on le sait, n’a pas eu de chance : une maxi-tempête a couvert toute la Méditerranée et emporté tous ses bateaux. D’où le drame que raconte la pièce de théâtre.

Car si l’on se débarrasse par diversification de risques indépendants géographiquement, ce n’est plus vrai si les risques sont reliés d’une façon ou d’une autre, c’est-à-dire ont tendance à évoluer dans le même sens.

Il faut alors caractériser la façon dont deux risques météo interagissent. La notion ici n’est pas l’écart-type, mais la covariance ou, de façon proche, le coefficient de corrélation. (Voir petite annexe à la fin.) Cette statistique mesure la façon dont les deux risques se comportent l’un par rapport à l’autre. Si l’un s’écarte fortement au-dessus de la moyenne, alors l’autre a des chances de connaître également un écart également positif à la moyenne. Un coefficient égal à zéro nous ramène au cas précédent, à savoir l’indépendance des risques ; un coefficient à un nous met dans le cas de l’infortuné Antonio. Et l’on a tous les cas intermédiaires. Si le coefficient est 0,5 par exemple, la couverture restera imparfaite ; il sera impossible de réaliser une couverture intégrale du risque, quel que soit le nombre de bateaux détenus par l’armateur.

Le risque prend ainsi un nouveau visage. Ce n’est plus tellement l’écart-type en soi dont on a peur, c’est le fait de ne pas pouvoir le réduire par le jeu de la diversification en raison d’une covariance non nulle. Voyons cela sur le cas plus simple où il n’y a que deux bateaux.

Le cas à deux bateaux

En effet, Antonio a pu sauver deux bateaux de sa faillite. Le premier noté B1 porte une cargaison très précieuse de soieries ; l’autre, B2, une cargaison de tonneaux de vin. Le tableau qui suit donne l’image du rendement et du risque (écart-type) mesurés en ducats d’or des deux bateaux. Les tonneaux de vin rapportent moins que les soieries et, étant plus lourds que la soie, ils accroissent (en proportion du gain) le risque de naufrage.

 

On relève que le gain moyen par bateau restera toujours de 400 ducats. Par contre, l’écart-type moyen va dépendre du coefficient de corrélation entre les risques météo.

Il est commode pour montrer les choses de reporter le rendement/risque des deux bateaux sur un même graphe et de voir ce qui se passe selon le degré de dépendance des risques.

Si le risque météo est unique, c’est comme si les deux bateaux étaient exactement au même endroit sur la mer. L’écart-type est simplement la moyenne pondérée des écarts-types de chaque bateau, ce qu’on figure par le point rouge du graphique ci-dessous.

Mais si les météos sont indépendantes, le jeu de la diversification réduit le risque comme on l’a vu précédemment, d’où le point noir de la figure.

 

Allons plus loin et imaginons que les deux bateaux soient mis sous forme de sociétés et cotées en bourse. Antonio détient maintenant un portefeuille financier composé des actions des deux sociétés avec l’avantage qu’il peut retenir les proportions qu’il souhaite des deux navires (faisant cela, il n’est plus armateur, il est investisseur).

Si les risques pesant sur les deux bateaux sont parfaitement corrélés (coefficient ρ = 1), la droite en rouge du graphique qui suit représente toutes les combinaisons de portefeuille possibles. Antonio peut ne détenir que des actions de B1, ou que des actions de B2, ou un panachage des deux comme il l’entend. Chaque point de la droite rouge fait figurer le couple rendement / risque du portefeuille.

On trace la même courbe, mais dans un cas avec une indépendance complète (coefficient ρ = 0 ; courbe noire) ou indépendance partielle (coefficient rho = 0,5 ; courbe verte).

 

Moins la corrélation est importante, plus l’effet de diversification est puissant. Mais l’exercice a des limites. En se limitant à deux bateaux, il n’est pas possible de réduire le risque en-deçà d’une certaine borne, marquée par le trait pointillé vertical. Comme on l’a vu précédemment, franchir cette limite supposerait un « portefeuille » d’actifs (les bateaux) plus nombreux que deux.

Il n’y a pas que le risque météo dans la marine marchande. Malfaçon, pirates, échouage, etc., risques qui au demeurant ne sont pas indépendants entre eux. Le même raisonnement vaudra : la diversification sera en mesure de réduire une fraction du risque total pour autant qu’il y ait une certain degré d’indépendance au sein de chacun de ces risques et entre ces divers risques. Mais si un risque frappe de façon homogène tous les actifs industriels de l’économie, il représente alors une sorte de borne indépassable dans la diversification. On appelle cela un risque « systématique ». Le modèle d’évaluation des actifs financiers sur un marché financier concurrentiel à l’équilibre (le CAPM, à la base de l’évaluation des entreprises) repose essentiellement sur la distinction entre un risque inassurable parce que systématique et des risques effaçables par diversification.

Sur la diversification du risque. 2- Le marchand de glaces et de parapluie

L’histoire d’Antonio a permis de voir l’effet de la diversification sur la réduction du risque industriel ou financier. Ne peut-on pas aller plus loin ? Par exemple trouver des actifs qui soient non pas corrélés, mais anti-corrélés ? Quand l’un va bien, l’autre va mal. N’aurait-on pas alors un portefeuille totalement immunisé au risque ?

C’est ce que pense Antonio. Il décide une reconversion en achetant un business de parapluies en même temps qu’un business de glaces. Comme la météo reste toujours le seul risque présent, il a en mains une martingale : quand il faut beau, les ventes de glace s’envolent, quand il pleut, on s’arrache ses parapluies. Zéro risque au total !

 

On peut comme précédemment généraliser en supposant qu’Antonio investit son patrimoine dans une certaine proportion d’actions d’une affaire de glaces et une autre proportion des actions d’une affaire de parapluies, chacune ayant respectivement les mêmes caractéristiques de rendement et de risque que les bateaux B1 et B2. Figurant la chose sur un espace rendement / risque, on retrouve sur la courbe rouge (en forme de chapeau chinois) ce que donnerait une météo jouant de façon homogène sur ce portefeuille d’activités absolument anti-corrélées (le paramètre rho est égal à -1 dans ce cas)[2].

 

Faut-il chercher à toute force des activités contracycliques ?

Doit-on recommander à Antonio et au-delà à toute entreprise de réduire son risque en acquérant des activités contracycliques ? On entend souvent cela chez les chefs d’entreprise. Oui, c’est à nouveau une assurance gratuite, mais qui rencontre certaines limites :

  • Comme le montre l’exemple un peu absurde des glaces et des parapluies, des activités contracycliques suivent des modèles d’affaire en général très différents. On limite le risque financier, mais au prix d’une complexité managériale plus grande et donc d’un plus fort risque opérationnel.
  • La panoplie des risques possibles que rencontre toute entreprise est très large. Ce n’est pas, dans le cas de notre exemple, parce qu’on couvre le risque météo qu’on réduit les autres risques qui peuvent frapper en pleine corrélation les deux activités. Une récession, par exemple, affecte tant le business de glaces que celui de parapluies.
  • Et enfin il est infiniment plus facile de faire cette diversification sur les marchés financiers, de façon synthétique en quelque sorte. Si les affaires de glace et de parapluies sont séparément cotées, les actionnaires des deux entreprises peuvent tout aussi bien acheter en direct une certaine proportion d’actions des deux entreprises sans avoir besoin de confier cette diversification, incommode opérationnellement, à un manager unique.

Ainsi, le développement des marchés financiers, et de leur liquidité, exerce une force puissante qui limite l’intérêt économique de faire des diversifications au sein d’une même entreprise holding. Pour cette raison, les forces de marché jouent davantage à la focalisation des entreprises sur un seul métier et à laisser à l’étage au-dessus, au niveau des échanges sur le marché boursier, le rôle d’assurance par diversification. (Ce qui n’empêche nullement que se recréent des conglomérats, le dernier en date étant SpaceX, dont la rumeur dit qu’il va fusionner prochainement avec Tesla.)

Annexe : le risque du portefeuille selon le coefficient de corrélation

 

 

[1] Si chaque bateau rapporte 1 s’il revient au port et bien sûr 0 sinon, le rendement moyen est de 0,95, soit une perte de 5 %. L’écart-type, indicateur de risque, s’élève à 2,2 %. L’écart-type d’une loi binomiale pour un seul bateau est la racine carrée de p (1 – p) où p = 0,95.

[2] On ne peut atteindre le risque nul que si les deux actifs sont détenus dans des proportions égales à leurs écart-types, mais comme on le voit sur le graphique en surpondérant l’activité parapluie, ce qui fait baisser le rendement moyen.